ELETROTÉCNICA APLICADA: Circuito RLC

Um circuito RLC (também conhecido como circuito ressonante ou circuito aceitador) é um circuito elétrico consistindo de um resistor (R), um indutor (L), e um capacitor (C), conectados em série ou em paralelo.
O circuito RLC é chamado de circuito de segunda ordem visto que qualquer tensão ou corrente nele pode ser descrita por uma equação diferencial de segunda ordem.

Parâmetros fundamentais

Existem dois parâmetros fundamentais que descrevem o comportamento dos circuitos RLC: a frequência de ressonância e o factor de carga. Para além disso, existem outros parâmetros que podem ser derivados destes dois primeiros.

Frequência de ressonância

A frequência natural ou de ressonância sem carga de um circuito RLC (em radianos por segundo) é:

$\omega_o = {1 \over \sqrt{L C}}$

Utilizando a unidade hertz, a frequência de ressonância fica:

$f_o = {\omega_o \over 2 \pi} = {1 \over 2 \pi \sqrt{L C}}$

A ressonância ocorre quando a impedância complexa Z_LC do ressonador LC se torna zero:

Z L C = Z L + Z C = 0

Ambas estas impedâncias são função de uma frequência angular s complexa:

$Z_C = { 1 \over Cs }$

Z L = L s

Considerando estas duas expressões acima iguais e resolvendo para s, tem-se:

$s = \pm j \omega_o = \pm j {1 \over \sqrt{L C}}$

onde a frequência de ressonância ω_o é dada pela expressão acima.

Fator de carga

O fator de carga do circuito (em radianos por segundo) é:

$\zeta wn = {R \over 2L}$

Para aplicações em circuitos osciladores, é geralmente desejável que o factor de carga seja o menor possível ou, de igual forma, aumentar o factor de qualidade (Q) o máximo possível. Na prática, isto requer uma redução na resistência R no circuito para uma quantia tão baixa quanto fisicamente possível. Neste caso, o circuito RL torna-se uma boa aproximação do circuito LC ideal, que não é realizável na prática. (mesmo que a resistência seja removida do circuito, ainda existe uma resistência pequena, porém diferente de zero no fio e nas conexões entre os elementos do circuito que não pode ser eliminada totalmente).
Alternativamente, para aplicações em filtros passa-banda, o factor de carga é escolhido baseado na largura de banda desejada do filtro. Para uma maior largura de banda, um maior factor de carga é necessário, e para uma largura de banda menor, utiliza-se um menor factor de carga. Na prática, isto requer ajustar os valores relativos da resistência R e do indutor L no circuito.

Parâmetros derivados

Os parâmetros derivados incluem largura de banda, fator Q e frequência de ressonância com carga.

Largura de banda

O circuito RLC pode ser utilizado como um filtro passa-faixa ou rejeita-faixa, e a sua largura de banda (em radianos por segundo) é:

$\Delta \omega = 2 \zeta = { R \over L}$

Alternativamente, a largura de banda em hertz é

$\Delta f = { \Delta \omega \over 2 \pi } = { \zeta \over \pi }= { R \over 2 \pi L}$

A largura de banda é a medida do comprimento da resposta em frequência das duas frequências com metade da potência do sinal de entrada. Como resultado, esta medida de largura de banda é muitas vezes chamada de "comprimento total a metade da potência". Visto que a potência é proporcional ao quadrado da tensão do circuito (ou corrente), a resposta em frequência irá cair a ${ 1 \over \sqrt{2} }$ nas frequências de metade da potência.

Qualidade ou factor Q

A qualidade do circuito, ou factor Q (ver Equalizador), é calculada como a razão entre a frequência de ressonância

ω o

e a largura de banda

Δω

(em radianos por segundo):

$Q = {\omega_o \over \Delta \omega } = {\omega_o \over 2\zeta } = {L \over R \sqrt{LC}} = {1 \over R} \sqrt{L \over C}$

Ou, em hertz:

$Q = {f_o \over \Delta f} = {2 \pi f_o L \over R} = {1 \over \sqrt{R^2 C / L}} = {1 \over R} \sqrt{L \over C}$

Q é uma unidade adimensional.

Ressonância com carga

A frequência de ressonância com carga deriva da frequência de ressonância natural e do factor de carga. Se o circuito estiver com subcarga, verifica-se que

$\zeta \ < \ \omega_o$

então pode-se definir a ressonância com carga como

$\omega_d = \sqrt{ \omega_o^2 - \zeta^2 }$

Em um circuito oscilador

$\zeta \ \ << \ \ \omega_o$ .

E, como resultado

$\omega_d \ \ = \ \ \omega_o \ \$ (approx).

Configurações

Todo circuito RLC consiste de dois componentes: uma fonte de alimentação e um ressonador. Existem dois tipos de fontes de alimentação, a fonte de Thévenin e a fonte de Norton. Da mesma forma, existem dois tipos de ressonadores, os LC série e o LC paralelo. Como resultado, existem quatro configurações de circuitos RLC:

LC série com fonte de alimentação do tipo Thévenin
LC série com fonte de alimentação do tipo Norton
LC paralelo com fonte de alimentação do tipo Thévenin
LC paralelo com fonte de alimentação do tipo Norton

Análise do circuito

RLC série com fonte da alimentação do tipo Thévenin

Neste circuito, os três componentes estão todos em série com a fonte de tensão.

Notações do circuito RLC série:

v - a tensão da fonte de alimentação (medida em volts V)

i - a corrente do circuito (medida em ampéres A)

R - a resistência do resistor (medida em ohms = V/A);

L - a indutância do indutor (medida em henrys = H = V·s/A)

C - a capacitância do capacitor (medida em farads = F = C/V = A·s/V)

Dados os parâmetros v, R, L, e C, a solução para a corrente (I) utilizando a Lei da Tensão de Kirchoff é:
${v_R+v_L+v_C=v} \,$ Para uma tensão variável com o tempo v(t), isto se torna

$Ri(t) + L { {di} \over {dt}} + {1 \over C} \int_{-\infty}^{t} i(\tau)\, d\tau = v(t)$

Rearranjando a equação [dividindo por L e derivando ambos os termos] tem-se a seguinte equação diferencial de segunda ordem:

${{d^2 i} \over {dt^2}} +{R \over L} {{di} \over {dt}} + {1 \over {LC}} i(t) = {1 \over L} {{dv} \over {dt}}$

Definem-se agora dois parâmetros chave:

$\zeta*wn = {R \over 2L}$

$\omega_0 = { 1 \over \sqrt{LC}}$

sendo ambos medidos em radianos por segundo.
Substituindo estes parâmetros na equação diferencial, obtém-se:

${{d^2 i} \over {dt^2}} + 2 \zeta {{di} \over {dt}} + \omega_0^2 i(t) = {1 \over L} {{dv} \over {dt}}$

A solução para Resposta de Entrada Zero (ZIR)

Colocando a entrada (fonte de tensão) em zero, obtém-se:

${{d^2 i} \over {dt^2}} + 2 \zeta {{di} \over {dt}} + \omega_o^2 i(t) = 0$

com as condições iniciais para a corrente do indutor, I_L(0), e a tensão do capacitor V_C(0). De modo a resolver a equação propriamente, as condições iniciais necessárias são I(0) e I'(0).
O primeiro já foi feito, visto que a corrente na total é igual à corrente no indutor, portanto

$i(0)=i_L(0) \,$

A segunda é obtida aplicando a Lei da Tensão de Kirchoff novamente:

$v_R(0)+v_L(0)+v_C(0)=0 \,$

$\Rightarrow i(0)R+i'(0)L+v_C(0)=0 \,$

$\Rightarrow i'(0)={1 \over L}\left[-v_C(0)-I(0)R \right]$

Agora tem-se uma equação diferencial de segunda ordem homogênea com duas condições iniciais. Substituíndo os parâmetros ζ e ω₀, tem-se

$i''+2\zeta i' + \omega_0^2 i = 0$

Convertendo a forma da equação para seu polinomial característico

$\lambda^2 + 2 \zeta \lambda + \omega_0^2 = 0$

Utilizando a fórmula quadrática, acham-se as raízes como

$\lambda = -\zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - \omega_0^2}$

Dependendo dos valores de α e ω₀, existem três casos possíveis:

Sobrecarga/Regime sobreamortecido (aperiódico)

Respostas do circuito RLC série com superamortecido

$\zeta>\omega_0 \Rightarrow RC>4 { L \over R} \,$

Neste caso, as soluções do polinomial característico são dois números reais negativos. Isto é chamado de "sobrecarga".
Duas raízes reais negativas, as soluções são:

$I(t)=A e^{\lambda_1 t} + B e^{\lambda_2 t}$

Carga crítica/ Regime amortecido crítico (aperiódico limite)

Circuito RLC série com Amortecimento Crítico

$\zeta=\omega_0 \Rightarrow RC=4 { L \over R } \,$

Neste caso, as soluções da polinomial característica são dois números reais negativos idênticos. Isto é chamado de "carga crítica".
As duas raízes são idênticas (

λ 1 = λ 2 = λ

). As soluções são:

I (t) = (A + B t) e λ t

para constantes arbitrárias A e B

Subcarga/ Regime subamortecido (periódico amortecido; pseudo-periódico)

$\zeta<\omega_0 \Rightarrow RC<4 { L \over R } \,$

Neste caso. as soluções do polinomial característico são um conjugado complexo e possuem uma parte real negativa. Isto é chamado de "subcarga" e resulta em oscilações no circuito.
As soluções consistem de duas raízes conjugadas

λ 1 = - ζ + i ω c

λ 2 = - ζ - i ω c

onde

$\omega_c = \sqrt{\omega_o^2 - \zeta^2}$

As soluções são:

$i(t) = Ae^{-\zeta + i \omega_c} + Be^{-\zeta - i \omega_c}$

para constantes arbitrárias A e B.

Utilizando a fórmula de Euler [ $e^{ix} = cos\left ( x \right ) + i sen\left ( x \right )$ ], pode-se simplificar a solução para

$i(t)=e^{-\zeta t} \left[ C \sin(\omega_c t) + D \cos(\omega_c t) \right]$

para constantes arbitrárias C e D.

Estas soluções são caracterizadas por uma resposta sinusoidal com decaimento exponencial. O tempo necessário para que as oscilações sejam eliminadas depende da qualidade do circuito, ou fator Q. Quanto maior a qualidade, mais tempo é necessário para que as oscilações decaiam.

Solução para Resposta de Estado Zero (ZSR)

Com as condições iniciais configuradas para zero e utilizando a seguinte equação:

$\left\{\begin{matrix} {{d^2 I} \over {dt^2}} +{R \over L} {{dI} \over {dt}} + {1 \over {LC}} I(t) = {1 \over L}{{dV} \over {dt}} \\ \\ I(0^{-})=I'(0^{-})=0 \end{matrix}\right.$

${{d^2 i} \over {dt^2}} +{2 \zeta } {{di} \over {dt}} + {\omega_o} i(t) = {1 \over L}{{dv} \over {dt}}$

Existem duas aproximações que podem ser utilizadas para encontrar o ZSR:

Transformada de Laplace

Primeiramente realiza-se a transformada de Laplace da equação diferencial de segunda ordem:

$(s^2 + 2\zeta s + \omega_o^2) I(s) = {s \over L } V(s)$

onde V(s) é a transformada de Laplace do sinal de entrada:

$V(s) = \mathcal{L} \left\{ v(t) \right\}$

Então resolve-se para a admitância complexa Y(s) (em siemens):

$Y(s) = { I(s) \over V(s) } = { s \over L (s^2 + 2\zeta s + \omega_o^2) }$

Pode-se utilizar a admitância Y(s) e a transformada de Laplace da tensão de entrada V(s) para encontrar a corrente elétrica complexa I(s):

$I(s) = Y(s) \times V(s)$

Finalmente, pode-se encontrar a corrente elétrica no domínio do tempo através da transformada de Laplace inversa:

$i(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ I(s) \right\}$

Exemplo:
Suponha

v (t) = A u (t)

onde u(t) é a função de passo Heaviside.

Então

$V(s) = { A \over s }$

$I(s) = { A \over L (s^2 + 2\zeta s + \omega_o^2) }$

Integral de convolução

Uma solução separada para cada função possível para V(t) é impossível. No entanto, existe um método para encontrar uma fórmula para I(t) utilizando a convolução. Para fazer isto, é necessário uma solução para uma entrada básica, a função delta de Dirac.
Para encontrar a solução mais facilmente começa-se resolvendo-a para a função de passo Heaviside e então utilizando o facto de que o nosso circuito é um sistema linear, a sua derivada será a solução para a função delta.
A equação então será, para t>0:

$\left\{\begin{matrix} {{d^2 I_u} \over {dt^2}} +{R \over L} {{dI_u} \over {dt}} + {1 \over {LC}} I_u(t) = 0 \\ I(0^{+})=0 \qquad I'(0^{+})={1 \over L} \end{matrix}\right.$

Assumindo que λ₁ e λ₂ são raízes de

$P(\lambda)= \lambda^2+2 \zeta \lambda + \omega_o^2$

então tal como na solução para ZIR, obtêm-se 3 casos diferentes:

Sobrecarga

Neste caso temos duas raízes reais negativas, a solução é:

$I_u(t)={1 \over {L(\lambda_1-\lambda_2)}} \left[ e^{\lambda_1 t}-e^{\lambda_2 t} \right]$

$\Rightarrow I_{\delta}(t)={1 \over {L(\lambda_1-\lambda_2)}} \left[ \lambda_1 e^{\lambda_1 t}-\lambda_2 e^{\lambda_2 t} \right]$

Carga crítica

Nesta caso, as raízes são idênticas (

λ 1 = λ 2 = λ

), a solução é:

$I_u(t)={1 \over L} t e^{\lambda t}$

$\Rightarrow I_{\delta}(t)={1 \over L} (\lambda t+1) e^{\lambda t}$

Subcarga

Neste caso existem duas raízes complexas conjugadas ( $\lambda_1 = \bar \lambda_2 = \zeta + i\omega_c$ ), a solução é:

$I_u(t)={1 \over {\omega_c L}} e^{\zeta t} \sin(\omega_c t)$

$\Rightarrow I_{\delta}(t)={1 \over {\omega_c L}} e^{\zeta t} \left[ \zeta \sin(\omega_c t) + \omega_c \cos(\omega_c t) \right]$

Domínio da frequência

O circuito RLC série pode ser analisado no domínio da frequência utilizando as relações de impedância complexa. Se a fonte de tensão acima produz uma forma de onda exponencial complexa com a amplitude V(s) e frequência angular

s = σ + i ω

, a Lei de Kirchoff para Tensão pode ser aplicada:

$V(s) = I(s) \left ( R + Ls + \frac{1}{Cs} \right )$

onde I(s) é a corrente complexa através de todos os componentes. Resolvendo para I tem-se:

$I(s) = \frac{1}{ R + Ls + \frac{1}{Cs} } V(s)$

E rearranjando, obtém-se

$I(s) = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) } V(s)$

Admitância complexa

A seguir, a resolução para a admitância complexa Y(s):

$Y(s) = { I(s) \over V(s) } = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) }$

Então, simplifica-se utilizando os parâmetros α e ω_o

$Y(s) = { I(s) \over V(s) } = \frac{s}{ L \left ( s^2 + 2 \alpha s + \omega_o^2 \right ) }$

Note que esta expressão para Y(s) é a mesma encontrada para a Resposta de Estado Zero.

Pólos e Zeros

Os zeros de Y(s) são os valores de s tais que

Y (s) = 0

s = 0

e $s = \infty$

Os pólos de Y(s) são os valores de s tais que $Y(s) = \infty$ :

$s = - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - \omega_o^2}$

Note que os pólos de Y(s) são idênticos às raízes

λ 1

λ 2

do polinómio característico.

Estado sinusoidal constante

Supondo

s = i ω

, obtendo a magnitude da equação acima obtém-se:

$| Y(s=i \omega) | = \frac{1}{\sqrt{ R^2 + \left ( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right )^2 }}$

A seguir, encontra-se a magnitude da corrente com uma função de ω

$| I( i \omega ) | = | Y(i \omega) | \times | V(i \omega) |$

Se os valores escolhidos fossem R = 1 ohm, C = 1 farad, L = 1 henry, e V = 1 volt, então o gráfico da magnitude da corrente I (em amperes) como uma função de ω (em radianos por segundo) seria:

Análise do estado sinusoidal constante

Note que existe um pico em

I m a g (ω) = 1

. Este é conhecido como a frequência de ressonância. Resolvendo para este valor, encontra-se:

$\omega_o = \frac{1}{\sqrt{L C}}$

Circuito RLC paralelo

Um modo de recuperar as propriedades do circuito RLC é através do uso da não-dimensionalização.

Notações do circuito RLC paralelo:

V - a tensão da fonte de alimentação (medida em volts V)

I - a corrente do no circuito (medida em ampères A)

R - a resistência do resistor (medida em ohms = V/A);

L - a indutância do indutor (medida em henrys = H = V·s/A)

C - a capacitância do capacitor (medida em farads = F = C/V = A·s/V)

Para uma configuração paralelo dos mesmos componentes, aonde Φ é o fluxo magnético no sistema, tem-se abaixo:
$C \frac{d^2 \Phi}{dt^2} + \frac{1}{R} \frac{d \Phi}{dt} + \frac{1}{L} \Phi = I_0 \cos(\omega t) \Rightarrow \frac{d^2 \chi}{d \tau^2} + 2 \zeta \frac{d \chi}{d\tau} + \chi = \cos(\Omega \tau)$ com substituições obtém-se:
$\Phi = \chi x_c, \ t = \tau t_c, \ x_c = L I_0, \ t_c = \sqrt{LC}, \ 2 \zeta = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}, \ \Omega = \omega t_c .$ A primeira variável corresponde ao fluxo magnético máximo armazenado no circuito, e a segunda variável corresponde ao período das oscilações ressonantes no circuito.

Similaridades e diferenças entre os circuitos em série e em paralelo

As expressões para a largura de banda nas configurações em série e em paralelo são inversas. Isto é particularmente útil para determinar se uma configuração em série ou em paralelo deve ser utilizada no projecto de um circuito particular. Entretanto, na análise de circuito, geralmente, a recíproca das duas variáveis posteriores é utilizada para caracterizar o sistema. Elas são conhecidas como a frequência de ressonância e o factor Q, respectivamente.

Aplicações dos circuitos ajustados

Existem muitas aplicações para os circuitos ajustados, especialmente nos sistemas de rádio e comunicações. Eles podem ser utilizados para selecionar uma certa faixa de frequências de um espectro total de ondas de rádio.

ELETROTÉCNICA APLICADA

quarta-feira, 24 de novembro de 2010

Circuito RLC

Parâmetros fundamentais

Frequência de ressonância

Fator de carga

Parâmetros derivados

Largura de banda

Qualidade ou factor Q

Ressonância com carga

Configurações

Análise do circuito

RLC série com fonte da alimentação do tipo Thévenin

A solução para Resposta de Entrada Zero (ZIR)

Sobrecarga/Regime sobreamortecido (aperiódico)

Carga crítica/ Regime amortecido crítico (aperiódico limite)

Subcarga/ Regime subamortecido (periódico amortecido; pseudo-periódico)

Solução para Resposta de Estado Zero (ZSR)

Transformada de Laplace

Integral de convolução

Sobrecarga

Carga crítica

Subcarga

Domínio da frequência

Admitância complexa

Pólos e Zeros

Estado sinusoidal constante

Circuito RLC paralelo

Similaridades e diferenças entre os circuitos em série e em paralelo

Aplicações dos circuitos ajustados

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